miércoles, 24 de septiembre de 2008

PERMUTACIONES

Permutación

En matemáticas, dado un conjunto finito con todos sus elementos diferentes, llamamos permutación a cada una de las posibles ordenaciones de los elementos de dicho conjunto.

Por ejemplo, en el conjunto {1,2,3}, cada ordenación posible de sus elementos, sin repetirlos, es una permutación. Existe un total de 6 permutaciones para estos elementos: "1,2,3", "1,3,2", "2,1,3", "2,3,1", "3,1,2" y "3,2,1".

La noción de permutación suele aparecer en dos contextos:

Como noción fundamental de combinatoria, centrándonos en el problema de su recuento.
En teoría de grupos, al definir nociones de simetría.

Definición alternativa

La permutación antes citada "1,3,2" puede verse como la imagen de una aplicación σ que lleva la lista inicial de objetos (1, 2, 3) en la lista de objetos reordenados (1, 3, 2). De este modo σ(1)=1, σ(2)=3 y σ(3)=2. También podemos definir a la permutación como la propia aplicación σ.

Así, formalmente, una permutación de un conjunto X es una biyección de X en sí mismo.

Aunque esta segunda definición generaliza a la primera al admitir conjuntos infinitos, el término permutación se usa principalmente para un conjunto finito X, y así lo haremos en el resto del artículo.

COMENTARIO: es cualquier subconjunto ordenado de un conjunto universal es decir el numero de elementos a los diferentes grupos que pueden hacerse tomandolos todos cada ves.

ESPACIO MUESTRAL

Espacio muestral

Definición

En estadística se llama espacio muestral al conjunto de todos los posibles resultados individuales de un experimento aleatorio. Se suele representar por Ω.

Sus elementos se representan por letras minúsculas $(w 1, w 2,...)$ y se denominan eventos o sucesos elementales. Los subconjuntos de Ω se designan por medio de letras mayúsculas $(A, B, C, D,...)$ y se denominan eventos o sucesos. Los sucesos representan los posibles resultados del experimento aleatorio.

Tipos de espacio muestral [editar]

Un espacio muestral Ω es discreto, cuando Ω es un conjunto discreto, es decir, finito o numerable; y es continuo, cuando no es numerable.

Particiones

Es posible definir particiones sobre el espacio muestral. Formalmente hablando, una partición sobre Ω se define como un conjunto numerable:

$\{A_i \}_{i \in \N} \;$ tal que

$A_1 \cup A_2 \cup .. \cup A_n = \Omega$
$A_i \cap A_j = \emptyset \; \forall i \ne j ;\ i,j=1..n$
$\text{[math]}$ 0 \; \forall i=1..n " src="http://upload.wikimedia.org/math/8/3/6/836ef6937b2cbf21e1f47f994eb3afa6.png">

Ejemplos

Por ejemplo, en el caso del experimento aleatorio "lanzar un dado", el espacio muestral del experimento sería: Ω={1,2,3,4,5,6}. Por otro lado, si cambiamos ligeramente la experiencia pensando en el número resultante de la suma de 2 dados, entonces tenemos 2 espacios muestrales:

Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),...(6,6)} = {1,2,3,4,5,6}x{1,2,3,4,5,6}

Ω'={2,3,4,...,12}

La elección del espacio muestral es un factor determinante para realizar el cálculo de la probabilidad de un suceso.

COMENTARIO: Se dice que es el conjunto de todos los sucesos elementales es decir un conjunto con todas las soluciones possbles.

martes, 23 de septiembre de 2008

COMBINACION

COMBINACIONES.

Como ya se mencionó anteriormente, una combinación, es un arreglo de elementos en donde no nos interesa el lugar o posición que ocupan los mismos dentro del arreglo. En una combinación nos interesa formar grupos y el contenido de los mismos.

La fórmula para determinar el número de combinaciones es:

_nC_r = Combinaciones de r objetos tomados de entre n objetos

Donde se observa que,

La expresión anterior nos explica como las combinaciones de r objetos tomados de entre n objetos pueden ser obtenidas a partir de las permutaciones de r objetos tomados de entre n objetos, esto se debe a que como en las combinaciones no nos importa el orden de los objetos, entonces si tenemos las permutaciones de esos objetos al dividirlas entre r!, les estamos quitando el orden y por tanto transformándolas en combinaciones, de otra forma, también si deseamos calcular permutaciones y tenemos las combinaciones, simplemente con multiplicar estas por el r! obtendremos las permutaciones requeridas.

COMENTARIO: es el numero de conjuntos diferentes, con elemnetos cada uno que puede form,arse de un conjunto de numeros de elementos. y en esta importa mucho el orden.

sábado, 20 de septiembre de 2008

PROBABILIDAD

Probabilidad

La probabilidad mide la frecuencia con la que ocurre un resultado en un experimento bajo condiciones suficientemente estables. La teoría de la probabilidad se usa extensamente en áreas como la estadística, la matemática, la ciencia y la filosofía para sacar conclusiones sobre la probabilidad de sucesos potenciales y la mecánica subyacente de sistemas complejos.

Interpretaciones

La palabra probabilidad no tiene una definición consistente. De hecho hay dos amplias categorías de interpretaciones de la probabilidad: los frecuentistas hablan de probabilidades sólo cuando se trata de experimentos aleatorios bien definidos. La frecuencia relativa de ocurrencia del resultado de un experimento, cuando se repite el experimento, es una medida de la probabilidad de ese suceso aleatorio. Los bayesianos, no obstante, asignan las probabilidades a cualquier declaración, incluso cuando no implica un proceso aleatorio, como una manera de representar su verosimilitud subjetiva.

COMENTARIO: Esta es la que mide la frecuencia con la que aparece un resultado determinado cuando se realiza un experimento.

CONJUNTO POTENCIA O FAMILIAR

Conjuntos potencia

1.5.1. Un conjunto muy importante en la teoría de conjuntos es aquel que, dado un conjunto $x$ cualquiera, contiene todos los subconjuntos de este conjunto $x$ . Un conjunto así se llama conjunto potencia. Más exactamente, si $x$ es un conjunto, entonces el conjunto potencia de $x$ es el conjunto $\mathcal{P}(x)$ dado por

$\mathcal{P}(x)=\{y\mid y\subseteq x\}$ .

1.5.2. Puesto que $\varnothing\subseteq\varnothing$ , $\mathcal{P}(\varnothing)=\{\varnothing\}$ , y por tanto $\mathcal{P}(\varnothing)$ contiene un solo elemento, y por ello $\mathcal{P}(\varnothing)\neq\varnothing$ . Sea $x$ un conjunto con $n$ elementos. Entonces, existen $n$ subconjuntos de $x$ con un solo elemento, $n\choose 2$ subconjuntos de $x$ con dos elementos, $n\choose 3$ subconjuntos de $x$ con 3 elementos, y así sucesivamente hasta llegar a los $n\choose n$ subconjuntos de $x$ con $n$ elementos. De este modo, $\mathcal{P}(x)$ tiene

$\sum_{i=0}^n {n\choose i}=(1+1)^n=2^n$

elementos, siendo esta última ecuación un caso particular del binomio de Newton. Como puede verse, el conjunto potencia $\mathcal{P}(x)$ de un conjunto $x$ contiene en general muchos más elementos que el conjunto $x$ , razón por la cual es difícil dar ejemplos de conjuntos potencia.

1.5.3. Nótese que $a\in x$ equivale a $\{a\}\in\mathcal{P}(x)$ .

1.5.4. Algo más interesante y conveniente de notar es que

$\bigcup_{x\in\mathcal{P}(X)}x=X$

para cualquier conjunto $X$ . En efecto, pues de $a\in\bigcup_{x\in\mathcal(X)}x$ , se sigue $a\in x$ para algún $x\in\mathcal{P}(X)$ , es decir, para algún $x\subseteq X$ , por lo que $a\in X$ . Recíprocamente, si $a\in X$ , entonces $a\in x$ para algún conjunto $x\in\mathcal{P}(X)$ (e.g. el conjunto $\{a\}\subseteq X$ ), luego $a\in\bigcup_{x\in\mathcal{P}(X)}x$ .

1.5.5. Como hecho más general, si $C$ es una colección de subconjuntos de un conjunto $X$ , es decir si $C\subseteq\mathcal{P}(X)$ , entonces $\bigcup_{x\in C}x\subseteq X$ .

1.5.6. Ahora vamos a generalizar algunas leyes a cerca de la unión e intersección de conjuntos. Primero, considérese un conjunto dado $u$ , y luego considérese una colección $C$ de subconjuntos de $u$ . Fórmese la unión

$\bigcup_{x\in C}x$ ,

un subconjunto de $u$ . El complemento

$\mathcal{C}\left(\bigcup_{x\in C}x\right)$ ,

es un subconjunto de $u$ . Si $a\in\mathcal{C}(\bigcup_{x\in C}x)$ , entonces $a\notin\bigcup_{x\in C}x$ , por lo que $a\notin x$ para todo $x\in C$ , y puesto que $x\subseteq u$ , el complemento $\mathcal{C}x$ existe y $a\in\mathcal{C}x$ para todo $x\in C$ . Así, $a\in\bigcap_{x\in C}\mathcal{C}x$ . El conjunto anterior es en efecto una intersección de los conjuntos de una colección, a saber

$C'=\{y\mid y\subseteq v$ y $\mathcal{C}y\in C\}$ .

Sea $u$ un conjunto y $C$ una colección de subconjuntos de $u$ . El resultado anterior, y otro cuya demostración se deja como un sencillo ejercicio al lector, se presentan a continuación:

$\mathcal{C}\left(\bigcup_{x\in C}x\right)=\bigcap_{x\in C}\mathcal{C}x$

$\mathcal{C}\left(\bigcap_{x\in C}x\right)=\bigcup_{x\in C}\mathcal{C}x$

Las proposiciones anteriores son una generalización de las leyes de De Morgan.

COMENTARIO: Se dice que es el conjunto de todos los subconjuntos.

ESTADISTICA