lunes, 29 de septiembre de 2008

este es un video que va relacionado a la probabilidad, tan solo accese al siguiente vinculo
http://www.youtube.com/watch?v=wPmi1pcoDq8

jueves, 25 de septiembre de 2008

ESPERANZA MATEMATICA

Esperanza matemática

En estadística la esperanza matemática (o simplemente esperanza) o valor esperado de una variable aleatoria es la suma del producto de la probabilidad de cada suceso por el valor de dicho suceso. Por ejemplo, en un juego de azar el valor esperado es el beneficio medio.

Si todos los sucesos son de igual probabilidad la esperanza es la media aritmética.

Definición

Para una variable aleatoria discreta con valores posibles x_1, x_2 \ldots x_n \,\! y sus probabilidades representadas por la función de masa p(xi) la esperanza se calcula como:

E[X]=\sum_{i=1}^{n} x_i p(x_i) \,\!

Para una variable aleatoria continua la esperanza se calcula mediante la integral de todos los valores y la función de densidad f(x) \,\!:

E[X]=\int_{-\infty}^\infty x f(x)dx \,\!
o \operatorname{E}[X] = \int_\Omega X\, \operatorname{d}P \,\!

La esperanza también se suele simbolizar con \mu = E[X] \,\!

Las esperanzas E[X^k] \,\! para k=0,1,2... \,\! se llaman momentos de orden k \,\!. Más importantes son los momentos centrados E[(X-E[X])^k] \,\!.

No todas las variables aleatorias tienen un valor esperado. Por ejemplo, la distribución de Cauchy no lo tiene.


Propiedades

La esperanza es un operador lineal, ya que:

\operatorname{E}(X + c)=  \operatorname{E}(X) + c \,\!
\operatorname{E}(X + Y)=  \operatorname{E}(X) + \operatorname{E}(Y) \,\!
\operatorname{E}(aX)= a \operatorname{E}(X)  \,\!

Combinando estas propiedades, podemos ver que -

\operatorname{E}(aX + b)= a \operatorname{E}(X) + b  \,\!
\operatorname{E}(a X + b Y) = a \operatorname{E}(X) + b \operatorname{E}(Y)  \,\!

donde X  \,\! e Y \,\! son variables aleatorias y a \,\! y b \,\! dos constantes cualesquiera.

COMENTARIO: tiene por objeto calcular el promedio de los resultados ponderados por la probabilidad de que sucedan cada uno de los resultados posibles.

ARBOL DE PROBABILIDAD

Es una grafica que representa los resultados posibles de un evento haci como la probabilidad de ocurrencias.

miércoles, 24 de septiembre de 2008

LOS EVENTOS PUEDEN SER

MUTUAMENTE EXCLUYENTES: Son aquellos que no pueden ocurrir al mismo tiempo.
INDEPENDIENTES: Estos no se ven afectados por otros.
DEPENDIENTES: cuando un evento afecta la probabilidad de ocurrencia de otra.
NO EXCLUYENTRES ENTRE SI: es cuando la ocurrencia de uno de elloss no impide que ocurra el otro.

AXIOMAS

Axiomas de probabilidad

Los axiomas de probabilidad son las condiciones mínimas que deben verificarse para que una función que definimos sobre unos sucesos determine consistentemente valores de probabilidad sobre dichos sucesos.

La probabilidad P de un suceso E, denotada por P(E), se define con respecto a un "universo" o espacio muestral Ω, conjunto de todos los posibles sucesos elementales, tal que P verifique los Axiomas de Kolmogórov, enunciados por el matemático ruso de este nombre en 1933. En este sentido, el suceso E es, en términos matemáticos, un subconjunto de Ω.



Axiomas de Kolmogórov

Dado un conjunto de sucesos elementales, Ω, sobre el que se ha definida una σ-álgebra (léase sigma-algebra) σ de subconjuntos de Ω y una función P que asigna valores reales a los miembros de σ, a los que denominamos "sucesos", diremos que P es una probabilidad sobre (Ω,σ) si se cumplen los siguientes tres axiomas.

Primer axioma

La probabilidad de un suceso A es un número real mayor o igual que 0.

P(A) \geq 0

La probabilidad de un suceso es un número positivo o nulo.

Segundo axioma

a 1.

P(\Omega) = 1\!

Ω representa todas las posibles alternativas y se denomina suceso seguro.

Tercer axioma

Si A1, A2... son sucesos mutuamente excluyentes (incompatibles dos a dos, disjuntos o de intersección vacía dos a dos),

entonces:

P(A_1 \cup A_2 \cup \cdots) = \sum P(A_i).

Según este axioma se puede calcular la probabilidad de un suceso compuesto de varias alternativas mutuamente excluyentes sumando las probabilidades de sus componentes.

Propiedades que se deducen de los axiomas

De los axiomas anteriores se deducen otras propiedades de la probabilidad:

  1.  P(\varnothing)=0 donde el conjunto vacío (\varnothing) representa en probabilidad el suceso imposible
  2. Para cualquier suceso  P(A) \leq 1
  3.  P(A^c)=1-P(A)\;\!
  4. Si  A \subseteq B entonces P(A) \leq P(B)
  5.  P(A \cup B)= P(A) + P(B) - P(A \cap B)


En términos más formales, una probabilidad es una medida sobre una σ-álgebra de subconjuntos del espacio muestral, siendo los subconjuntos miembros de la σ-algebra los sucesos y definida de tal manera que la medida del total sea 1. Tal medida, gracias a su definición matemática, verifica igualmente los tres axiomas de Kolmogórov. A la terna formada por el espacio muestral, la σ-álgebra y la función de probabilidad se la denomina Espacio probabilístico, esto es, un "espacio de sucesos" (el espacio muestral) en el que se han definido los posibles sucesos a considerar (la σ-álgebra) y la probabilidad de cada suceso (la función de probabilidad).

Como ejemplo se puede tomar como espacio muestral a los posibles resultados al arrojar un dado corriente \Omega = \left \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 \right \} , tomaremos como σ-algebra todos los subconjuntos posibles de Ω (que en matemáticas se denota por \mathcal {P}(\Omega)) y como función de probabilidad

 P(A)= \frac {\mbox {numero de elementos de A}} {6}

Es fácil comprobar que esta función verifica los tres axiomas de Kolmogórov y, por tanto, consituye una probabilidad sobre este conjunto.

  1.  P(A)= \frac {\mbox {numero de elementos de A}} {6} \geq 0, puesto que es el cociente de dos números positivos
  2.  P(\Omega)=P \left ( \left \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 \right \} \right )=  \frac { \mbox{numero de elementos de } \left \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 \right \} } {6} = \frac {6} {6} = 1
  3. Si  A= A_1 \cup A_2 \cup A_3 \cup \cdots de tal manera que  A_i \cap A_j = \varnothing \quad \forall i \ne j entonces
\begin{matrix} \mbox {numero de elementos de } A & = & \mbox {numero de elementos de } A_1 + \\ \ & + & \mbox {numero de elementos de } A_2 + \\ \ &  + & \mbox {numero de elementos de } A_3 + \cdots \end{matrix}
con lo que P(A)=\sum P(A_i)
COMENTARIO: se puede decir que es un resultado posible o un grupo de resultados posibles de un eexperimento y es la minima unidad de analsis de calculos probabilisticos.

PERMUTACIONES

Permutación

En matemáticas, dado un conjunto finito con todos sus elementos diferentes, llamamos permutación a cada una de las posibles ordenaciones de los elementos de dicho conjunto.

Por ejemplo, en el conjunto {1,2,3}, cada ordenación posible de sus elementos, sin repetirlos, es una permutación. Existe un total de 6 permutaciones para estos elementos: "1,2,3", "1,3,2", "2,1,3", "2,3,1", "3,1,2" y "3,2,1".

La noción de permutación suele aparecer en dos contextos:



Definición alternativa

La permutación antes citada "1,3,2" puede verse como la imagen de una aplicación σ que lleva la lista inicial de objetos (1, 2, 3) en la lista de objetos reordenados (1, 3, 2). De este modo σ(1)=1, σ(2)=3 y σ(3)=2. También podemos definir a la permutación como la propia aplicación σ.

Así, formalmente, una permutación de un conjunto X es una biyección de X en sí mismo.

Aunque esta segunda definición generaliza a la primera al admitir conjuntos infinitos, el término permutación se usa principalmente para un conjunto finito X, y así lo haremos en el resto del artículo.

COMENTARIO: es cualquier subconjunto ordenado de un conjunto universal es decir el numero de elementos a los diferentes grupos que pueden hacerse tomandolos todos cada ves.

ESPACIO MUESTRAL

Espacio muestral


Definición

En estadística se llama espacio muestral al conjunto de todos los posibles resultados individuales de un experimento aleatorio. Se suele representar por Ω.

Sus elementos se representan por letras minúsculas (w1,w2,...) y se denominan eventos o sucesos elementales. Los subconjuntos de Ω se designan por medio de letras mayúsculas (A,B,C,D,...) y se denominan eventos o sucesos. Los sucesos representan los posibles resultados del experimento aleatorio.

Tipos de espacio muestral [editar]

Un espacio muestral Ω es discreto, cuando Ω es un conjunto discreto, es decir, finito o numerable; y es continuo, cuando no es numerable.

Particiones

Es posible definir particiones sobre el espacio muestral. Formalmente hablando, una partición sobre Ω se define como un conjunto numerable:

 \{A_i \}_{i \in \N} \; tal que
  1. A_1 \cup A_2 \cup .. \cup A_n = \Omega
  2. A_i \cap A_j = \emptyset \; \forall i \ne j ;\ i,j=1..n
  3. 0 \; \forall i=1..n " src="http://upload.wikimedia.org/math/8/3/6/836ef6937b2cbf21e1f47f994eb3afa6.png">

Ejemplos

Por ejemplo, en el caso del experimento aleatorio "lanzar un dado", el espacio muestral del experimento sería: Ω={1,2,3,4,5,6}. Por otro lado, si cambiamos ligeramente la experiencia pensando en el número resultante de la suma de 2 dados, entonces tenemos 2 espacios muestrales:

Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),...(6,6)} = {1,2,3,4,5,6}x{1,2,3,4,5,6}

Ω'={2,3,4,...,12}


La elección del espacio muestral es un factor determinante para realizar el cálculo de la probabilidad de un suceso.

COMENTARIO: Se dice que es el conjunto de todos los sucesos elementales es decir un conjunto con todas las soluciones possbles.

martes, 23 de septiembre de 2008

COMBINACION

COMBINACIONES.

Como ya se mencionó anteriormente, una combinación, es un arreglo de elementos en donde no nos interesa el lugar o posición que ocupan los mismos dentro del arreglo. En una combinación nos interesa formar grupos y el contenido de los mismos.

La fórmula para determinar el número de combinaciones es:

nCr = Combinaciones de r objetos tomados de entre n objetos

Donde se observa que,

La expresión anterior nos explica como las combinaciones de r objetos tomados de entre n objetos pueden ser obtenidas a partir de las permutaciones de r objetos tomados de entre n objetos, esto se debe a que como en las combinaciones no nos importa el orden de los objetos, entonces si tenemos las permutaciones de esos objetos al dividirlas entre r!, les estamos quitando el orden y por tanto transformándolas en combinaciones, de otra forma, también si deseamos calcular permutaciones y tenemos las combinaciones, simplemente con multiplicar estas por el r! obtendremos las permutaciones requeridas.

COMENTARIO: es el numero de conjuntos diferentes, con elemnetos cada uno que puede form,arse de un conjunto de numeros de elementos. y en esta importa mucho el orden.

sábado, 20 de septiembre de 2008

PROBABILIDAD

Probabilidad

La probabilidad mide la frecuencia con la que ocurre un resultado en un experimento bajo condiciones suficientemente estables. La teoría de la probabilidad se usa extensamente en áreas como la estadística, la matemática, la ciencia y la filosofía para sacar conclusiones sobre la probabilidad de sucesos potenciales y la mecánica subyacente de sistemas complejos.


Interpretaciones

La palabra probabilidad no tiene una definición consistente. De hecho hay dos amplias categorías de interpretaciones de la probabilidad: los frecuentistas hablan de probabilidades sólo cuando se trata de experimentos aleatorios bien definidos. La frecuencia relativa de ocurrencia del resultado de un experimento, cuando se repite el experimento, es una medida de la probabilidad de ese suceso aleatorio. Los bayesianos, no obstante, asignan las probabilidades a cualquier declaración, incluso cuando no implica un proceso aleatorio, como una manera de representar su verosimilitud subjetiva.

COMENTARIO: Esta es la que mide la frecuencia con la que aparece un resultado determinado cuando se realiza un experimento.

CONJUNTO POTENCIA O FAMILIAR

Conjuntos potencia

1.5.1. Un conjunto muy importante en la teoría de conjuntos es aquel que, dado un conjunto x cualquiera, contiene todos los subconjuntos de este conjunto x. Un conjunto así se llama conjunto potencia. Más exactamente, si x es un conjunto, entonces el conjunto potencia de x es el conjunto \mathcal{P}(x) dado por


\mathcal{P}(x)=\{y\mid y\subseteq x\}.

1.5.2. Puesto que \varnothing\subseteq\varnothing, \mathcal{P}(\varnothing)=\{\varnothing\}, y por tanto \mathcal{P}(\varnothing) contiene un solo elemento, y por ello \mathcal{P}(\varnothing)\neq\varnothing. Sea x un conjunto con n elementos. Entonces, existen n subconjuntos de x con un solo elemento, n\choose 2 subconjuntos de x con dos elementos, n\choose 3 subconjuntos de x con 3 elementos, y así sucesivamente hasta llegar a los n\choose n subconjuntos de x con n elementos. De este modo, \mathcal{P}(x) tiene


\sum_{i=0}^n {n\choose i}=(1+1)^n=2^n


elementos, siendo esta última ecuación un caso particular del binomio de Newton. Como puede verse, el conjunto potencia \mathcal{P}(x) de un conjunto x contiene en general muchos más elementos que el conjunto x, razón por la cual es difícil dar ejemplos de conjuntos potencia.


1.5.3. Nótese que a\in x equivale a \{a\}\in\mathcal{P}(x) .


1.5.4. Algo más interesante y conveniente de notar es que


\bigcup_{x\in\mathcal{P}(X)}x=X


para cualquier conjunto X. En efecto, pues de a\in\bigcup_{x\in\mathcal(X)}x, se sigue a\in x para algún x\in\mathcal{P}(X) , es decir, para algún x\subseteq X, por lo que a\in X. Recíprocamente, si a\in X, entonces a\in x para algún conjunto x\in\mathcal{P}(X) (e.g. el conjunto \{a\}\subseteq X), luego a\in\bigcup_{x\in\mathcal{P}(X)}x.


1.5.5. Como hecho más general, si C es una colección de subconjuntos de un conjunto X, es decir si C\subseteq\mathcal{P}(X) , entonces \bigcup_{x\in C}x\subseteq X.


1.5.6. Ahora vamos a generalizar algunas leyes a cerca de la unión e intersección de conjuntos. Primero, considérese un conjunto dado u, y luego considérese una colección C de subconjuntos de u. Fórmese la unión


\bigcup_{x\in C}x,


un subconjunto de u. El complemento


\mathcal{C}\left(\bigcup_{x\in C}x\right),


es un subconjunto de u. Si a\in\mathcal{C}(\bigcup_{x\in C}x) , entonces a\notin\bigcup_{x\in C}x, por lo que a\notin x para todo x\in C, y puesto que x\subseteq u, el complemento \mathcal{C}x existe y a\in\mathcal{C}x para todo x\in C. Así, a\in\bigcap_{x\in C}\mathcal{C}x. El conjunto anterior es en efecto una intersección de los conjuntos de una colección, a saber


C'=\{y\mid y\subseteq v y \mathcal{C}y\in C\}.


Sea u un conjunto y C una colección de subconjuntos de u. El resultado anterior, y otro cuya demostración se deja como un sencillo ejercicio al lector, se presentan a continuación:

  • \mathcal{C}\left(\bigcup_{x\in C}x\right)=\bigcap_{x\in C}\mathcal{C}x
  • \mathcal{C}\left(\bigcap_{x\in C}x\right)=\bigcup_{x\in C}\mathcal{C}x

Las proposiciones anteriores son una generalización de las leyes de De Morgan.

COMENTARIO: Se dice que es el conjunto de todos los subconjuntos.